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`!Additive`!, `!subadditive`! und `!superadditive Funktionen`! sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von `F33f`_`[Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f. `F33f`_`[Lineare Abbildungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f sind besondere additive Funktionen.

In der `F33f`_`[Zahlentheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zahlentheorie]`_`f herrscht eine andere Definition für die `*additive Funktion`*.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Sub- und Superadditive Funktionen`#sub-und-superadditive-funktionen]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Definition in der Zahlentheorie`#definition-in-der-zahlentheorie]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Definition

Eine Funktion f {\\displaystyle f} heißt additiv, wenn sie die `F33f`_`[Funktionalgleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionalgleichung]`_`f

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}

erfüllt.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f] Sind `F33f`_`[Definitions-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Definitionsmenge]`_`f und `F33f`_`[Zielbereich`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zielmenge]`_`f `F33f`_`[abelsche Gruppen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Gruppe]`_`f, so spricht man auch von Z {\\displaystyle \\mathbb {Z} } -`F33f`_`[Linearität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f.

>>Sub- und Superadditive Funktionen

Ist M {\\displaystyle M} eine `F33f`_`[Halbgruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Halbgruppe]`_`f mit der `F33f`_`[Verknüpfung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweistellige_Verknüpfung]`_`f + {\\displaystyle +} , so heißt eine Abbildung f : : M → → R {\\displaystyle f\\colon M\\to \\mathbb {R} } `*subadditiv`*, wenn für alle x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} aus M {\\displaystyle M} gilt:`:cite-ref-convexfunctions-2-0[`F5bf`_`[2`#cite-note-convexfunctions-2]`_`f]

f ( x + y ) ≤ ≤ f ( x ) + f ( y ) {\\displaystyle f(x+y)\\leq f(x)+f(y)} .

Die Abbildung heißt `*superadditiv`*, wenn für alle x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} aus M {\\displaystyle M} gilt:`:cite-ref-convexfunctions-2-1[`F5bf`_`[2`#cite-note-convexfunctions-2]`_`f]

f ( x + y ) ≥ ≥ f ( x ) + f ( y ) {\\displaystyle f(x+y)\\geq f(x)+f(y)} .

>>Beispiele

• Gemäß der `F33f`_`[Dreiecksungleichung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dreiecksungleichung]`_`f sind `F33f`_`[Normen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Norm_(Mathematik)]`_`f und `F33f`_`[Beträge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Absoluter_Betrag]`_`f stets subadditiv.

• `F33f`_`[Sublineare Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sublineare_Funktion]`_`f sind subadditiv.

• `F33f`_`[Lineare Abbildungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f sind additiv.

>>Eigenschaften

• Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.

• Ist f {\\displaystyle f} eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl x 1 , … … , x n {\\displaystyle x_{1},\\dotsc ,x_{n}} von Elementen aus M {\\displaystyle M} :

f ( x 1 + ⋯ ⋯ + x n ) = f ( x 1 ) + ⋯ ⋯ + f ( x n ) {\\displaystyle f(x_{1}+\\dotsb +x_{n})=f(x_{1})+\\dotsb +f(x_{n})}

Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

>>Definition in der Zahlentheorie

Bei `F33f`_`[zahlentheoretischen Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zahlentheoretische_Funktion]`_`f f : : N → → C {\\displaystyle f\\colon \\mathbb {N} \\to \\mathbb {C} } betrachtet man als Verknüpfung auf N {\\displaystyle \\mathbb {N} } die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt `*additiv`*, wenn die Gleichung

f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {\\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}

für alle `F33f`_`[teilerfremden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilerfremd]`_`f x {\\displaystyle x} und y ∈ ∈ N {\\displaystyle y\\in \\mathbb {N} } gilt. Gilt dies sogar für alle x {\\displaystyle x} und y {\\displaystyle y} , so heißt die Funktion `*streng additiv`*.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[σ-Subadditivität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Σ-Subadditivität]`_`f

• `F33f`_`[σ-Additivität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Σ-Additivität]`_`f

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 981-02-3544-5, S. 1 (englisch).

`:cite-note-convexfunctions-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-convexfunctions-2-0]`_`f Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 0-12-549250-2, S. 8 (englisch).

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a